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    已知在平面直角坐标系xoy中，向量
    j
    =(0，1)，△OFP的面积为2
    		3
    ，且
    OF
    •
    FP
    =t，
    OM
    =
    		3
    3
    OP
    +
    j
    ．
    （I）设4＜t＜4
    		3
    ，求向量
    OF
    与
    FP
    的夹角θ    的取值范围；
    （II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且|
    OF
    |=c，t=(
    		3
    -1)c2，当|
    OP
    |    取最小值时，求椭圆的方程．
    （1）由2
    		3
    =
    1
    2
    |
    OF
    |    •|FP|•sinθ，得|
    OF
    |•|
    FP
    |    =
    4
    		3
    sinθ
    ，
    由cosθ=
    OF
    •
    FP
    |
    OF
    |•|
    FP
    |
    =
    tsinθ
    4
    		3
    ，得tanθ=
    4
    		3
    t
    .
    ∵4＜t＜4
    		3
    ∴1＜tanθ＜
    		3
    ∵θ∈[0，π]
    ∴夹角θ的取值范围是（
    π
    4
    ，
    π
    3
    ）
    （2）设P(x0，y0)，则
    FP
    (x0-c，y0)，
    OF
    =(c，0).    ∴
    OF
    •
    FP
    =(x0-c，y0)•(c，0)=(x0-c)c=t=(
    		3
    -1)c2∴x0=
    		3
    c
    S△OFP=
    1
    2
    |
    OF
    |•|y0|=2
    		3
    ∴y0=±
    4
    		3
    c

    ∴|
    OP
    |=
    x20
    +
    y20
    =
    		(
    		3
    c)    2    +(
    4
    		3
    c
    )    2
    ≥
    		2
    		3
    c•
    4
    		3
    c
    =2
    		6

    ∴当且仅当
    		3
    c=
    4
    		3
    c
    ，即c=2时，|
    OP
    |取最小值2
    		6
    ，此时，
    OP
    =(2
    		3
    ，±2
    		3
    )
    ∴
    OM
    =
    		3
    3
    (2
    		3
    ，2
    		3
    )+(0，1)=(2，3)
    或
    OM
    =
    		3
    3
    (2
    		3
    ，-2
    		3
    )+(0，1)=(2，-1)
    椭圆长轴2a=
    		(2-2)2+(3-0)2
    +
    		(2+2)2+(3-0)2
    =8∴a=4，b2=12
    或2a=
    		(2-2)2+(-1-0)2
    +
    		(2+2)2+(-1-0)2
    =1+
    		17
    ∴a=
    1+
    		17
    2
    ，b2=
    1+
    		17
    2

    故所求椭圆方程为
    x2
    16
    +
    y2
    12
    =1    ．
    或
    x2
    9+
    		17
    2
    +
    y2
    1+
    		17
    2
    =1
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    选修4-4：坐标系与参数方程
    已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：
    x=1+cosθ
    y=sinθ
    (θ    为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
    π
    4
    )=0    ．
    （Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
    （Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值，并求此时M点的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-
    		3
    ，0)    ，且过点D（2，0）．
    （1）求该椭圆的标准方程；
    （2）设点A(1，
    1
    2
    )    ，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为
    x=
    		3
    +3cosθ
    y=1+3sinθ
    ，（θ为参数），以ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
    π
    6
    )    =0，则圆C截直线l所得的弦长为
    4
    		2
    4
    		2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），动点M（x，y）满足条件
    -2≤
    OM
    •
    OA
    ≤2
    1≤
    OM
    •
    OB
    ≤2
    ，则z=
    OM
    •
    OC
    的最大值为（　　）
    A、-1B、0C、3D、4

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-
    		3
    ，0)    ，右顶点为D（2，0），设点A(1，
    1
    2
    )    ．
    （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
    （Ⅲ）是否存在直线l，满足l过原点O并且交椭圆于点B、C，使得△ABC面积为1？如果存在，写出l的方程；如果不存在，请说明理由．

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