Question

若集合A={(x，y)|y=1+

4-x2

}，B={（x，y）|y=k（x-2）+4}，当集合C=A∩B中有两个元素时，实数k的取值范围是（　　）

• A．[

  5

  12

  ，+∞)
• B．(

  5

  12

  ，

  3

  4

  ]
• C．(

  5

  12

  ，

  5

  4

  ]
• D．[

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

分析：根据题意，集合A对应的图形是以C（0，1）为圆心、半径为2的圆的上半圆；集合B对应的图形是经过定点P（2，4）的一条直线．A∩B中有两个元素，说明直线与圆有两个公共点，由此利用点到直线的距离公式和斜率公式加以计算，并观察直线倾斜角的变化，可得本题答案．

解答：解：由y=1+

4-x2

，平方化简得x²+（y-1）²=4（y≥1），
∴集合A表示以C（0，1）为圆心，半径为2的圆的上半圆．
∵y=k（x-2）+4的图象是经过定点P（2，4）的一条直线，
∴当直线与半圆有两个公共点时，集合C=A∩B中有两个元素．
由直线y=k（x-2）+4与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，
得

|-2k+3|

k2+1

=2，解之得k=

5

12

（舍负）
又∵直线经过半圆的左端点A（-2，1）时，它们有两个交点，
此时k=

1-4

-2-2

=

3

4

，
∴当直线夹在PA到PB之间（可与PA重合，不与PB重合）时，
直线y=k（x-2）+4与半圆有两个公共点，可得k∈(

5

12

，

3

4

]．
故选：B

点评：本题给出两个集合的交集有两个元素，求参数k的范围，着重考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．