Question

将一副三角板如图(1)拼好,其中AB=AC=2a,∠BAC=∠BCD=90°,∠CBD=30°.若将ABC沿BC折起,使二面角A-BC-D为直二面角,如图(2).

(1)求证:AB⊥平面ACD;

(2)求二面角ABDC的大小;

(3)求点C到平面ABD的距离.

Answer 1

(1)证明:由CD⊥BC及二面角A-BC-D为直二面角,得CD⊥面ABC,∴CD⊥AB,AB⊥AC,∴AB⊥平面ACD.

(2)解:如图,取BC中点E,则AE⊥平面BCD.作EF⊥BD,垂足为F,连结AF,则BD⊥AF,∠AFE即二面角ABDC的平面角.由AB=AC=2a,∴BC=a.∴AE=a.∴EF=BE=

a.∴tan∠AFE=2.∴二面角A-BD-C的大小为arctan2.

(3)解法一:(直接法)作EG⊥AF,垂足为G,由(2)知,BD⊥平面AEF,∴BD⊥GE.∴GE⊥平面ABD.∴GE的长即点E到平面ABD的距离,又E为BC的中点,∴点C到平面ABD的距离等于2GE.由GE×AF=AE×EF,得GE=,∴所求距离为.

解法二:(等体积法)∵V_C—ABD=V_A—BCD,可得点C到平面ABD的距离为.