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    　　设a,b,c是直角△ABC的三条边的边长,c是斜边,整数n≥3,求证:an+bn<cn

     

    答案：
    解析：

    　　分析:在直角三角形ABC中,有,于是证不等式an+bn<cn,就变为证明sinnA+cosnA<1.

    　　解:在Rt△ABC中,A为锐角,,

    　　如图,A为坐标原点,设角A的终边与单位圆交于点P(x,y),过P作x轴的垂线,M为垂足,则MP=y,OM=x,|OP|=r=1,显然有0＜x＜1,0＜y＜1且0＜sinA＜1且0＜cosA＜1.

    　　又∵OM2+MP2=OP2,∴sin2A+cos2A=1.

    　　又由指数函数的性质得,当n≥3时,sinnA<sin2A,cosnA<cos2A．

    　　∴sinnA+cosnA<sin2A+cos2A=1

    　　即.　　　　 

    　　

     


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