Question

研究一下，是否存在一个三角形具有以下性质：

(1)三边是连续的三个自然数；

(2)最大角是最小角的2倍．

Answer 1

答案：略
解析：

设三角形三边长分别是，n，，三个角分别是，，．由正弦定理， ， 所以， ． 由余弦定理， ， 即 ． 化简，得 ， 所以，n＝0，或n＝5．n＝0不合题意，舍去．n＝5．三角形的三边分别是4，5，6．可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍． 　　另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数． 　　(1)三边的长不可能是1，2，3．这是因为1＋2＝3，而三角形任何两边之和大于第三边． 　　(2)如果三边分别是a＝2，b＝3，c＝4． 因为 ， ， ． 在此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是， ， 所以， ． 边长为2，3，4的三角形不满足条件． 　　(3)如果三边分别是a＝3，b＝4，c＝5，此三角形是直角三角形，最大角是90°，最小角不等于45°，此三角形不满足条件． 　　(4)如果三边是a＝4，b＝5，c＝6．此时， ， ， ． 因为 ，而，， 所以， ． 所以，边长为4，5，6的三角形满足条件． 　　(5)当，三角形的三边是a＝n，b＝n＋1，c＝n＋2时，三角形的最小角是A，最大角是C． ， ． cosA随n的增大而减小，A随之增大，cosC随n的增大而增大，C随之变小．由于时有C＝2A，所以，时，不可能． 　　综上可知，只有边长分别为4，5，6的三角形满足条件．