Question

【题目】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ，且过点D（2，0）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点 ，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是

∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为 ，

∴a=2， ，可得b= =1

因此，椭圆的标准方程为

（2）解：设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），

由根据中点坐标公式，可得 ，整理得 ，

∵点P（x0，y0）在椭圆上，

∴可得 ，化简整理得 ，

由此可得线段PA中点M的轨迹方程是

【解析】（1）设椭圆方程为 ，根据题意可得a=2且c= ，从而b= =1，得到椭圆的标准方程；（2）设点P（x0 ， y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0 ， y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．