Question

a、b是常数，关于x的一元二次方程x²+（a+b）x+3+

ab

2

=0有实数解记为事件A．
（1）若a、b分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数，求P（A）；
（2）若a∈R、b∈R，-6≤a+b≤6且-6≤a-b≤6，求P（A）．

Answer 1

（1）方程有实数解，（a+b）²-4（3+

ab

2

）≥0，
即a²+b²≥12…（1分）
依题意，a=1、2、3、4、5、6，b=1、2、3、4、5、6，
所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有6×6=36种结果…（2分）
当且仅当“a=1且b=1、2、3”，或“a=2且b=1、2”，
或“a=3且b=1”时，a²+b²≥12不成立…（5分），
所以满足a²+b²≥12的结果有36-（3+2+1）=30种…（6分），
从而P（A）=

30

36

=

5

6

…（7分）．
（2）在平面直角坐标系aOb中，直线a+b=±6与a-b=±6
围成一个正方形…（8分）
正方形边长即直线a+b=±6与a-b=±6之间的距离为d=

6+6

2

=6

2

…（9分）
正方形的面积S=d²=72…（10分），
圆a²+b²=12的面积为S′=12π…（11分）
圆在正方形内部…（12分），
所以P（A）=

S-S′

S

=

72-12π

72

=

6-π

6

…（13分）．