Question

设二次方程，n∈N₊有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1．
（1）证明：是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设，n∈N₊，T_n为{c_n}的前n项和，证明：T_n＜2，（n∈N₊）．

Answer 1

【答案】分析：（1）6α-2αβ+6β=3，即，可推出，n∈N₊，由此能证明是等比数列，并能求出并求{a_n}的通项公式．
（2）由，知，由此利用错位相减法能证明：T_n＜2，（n∈N₊）．
解答：解：（1）∵二次方程，n∈N₊有两根α和β，
且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1．
∴，
∴，n∈N₊
，且
∴是以为首项，公比为的等比数列．
∴，
故．
（2）∵，，n∈N₊，∴，
T_n=1×+2×（）²+3×（）³+…+n×（）ⁿ，
=1×（）²+2×（）³+3×（）⁴+…+n×（）ⁿ⁺¹，
两式相减，得=+（）²+（）³+…+（）ⁿ-n×（）ⁿ⁺¹
=1-（）ⁿ-n•（）ⁿ⁺¹，
∴T_n=2--n•＜2．
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的证明，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．