Question

已知数列{a_n}．{b_n}满足：a₁=b₁=1，a₄=b₈，a_n+1=2a_n+1，b_n+2-2b_n+1+b_n=0，n∈N^*
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）通过a_n+1=2a_n+1，推出{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
求数列{a_n} 的通项公式；利用b_n+2-2b_n+1+b_n=0，推出{b_n}是等差数列．求出通项公式．
（II）写出a_n•b_n的表达式，求出它的前n项和S_n的表达式，利用错位相减法求出数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（I）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），…（2分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，n∈N^*．                  …（4分）
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴bn+1=

bn+2+bn

2

，n∈N^*，∴{b_n}是等差数列．
∵b₁=1，b₈=a₄=15，∴d=2，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1，n∈N^*．                     …（6分）
（II）∵a_n•b_n=（2n-1）（2ⁿ-1）=（2n-1）•2ⁿ-（2n-1），
∴S_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ-（1+3+…+2n-1）．…（7分）
设A=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
则2A=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，…（9分）
以上两式相减得：A=-2-2（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6，
因此，S_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6-n²．                     …（12分）

点评：本题是中档题，考查数列通项公式的求法，构造新数列是解题的关键，错位相减法是一个等差数列与一个等比数列对应项乘积的数列求法的常用方法，值得同学注意，高考常考题目类型．