Question

（2013•乐山一模）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=

2x 1-2x ，x≠ 1 2 -1，x= 1 2

的图象上的两点（可以重合），点M在直线x=

1

2

上，且

AM

=

MB

．则y₁+y₂的值为

-2

．

Answer 1

分析：根据题意设出M的坐标，结合条件代入

AM

=

MB

，利用向量相等求出x₁+x₂的值，再由A和B再函数f（x）的图象进行分类，把两点的坐标代入对应的解析式进行化简求值．

解答：解：∵点M在直线x=

1

2

上，∴点M的坐标是（

1

2

，y），
∵

AM

=

MB

，∴（

1

2

-x₁，y-y₁）=（x₂-

1

2

，y₂-y），即

1 2 -x1=x2- 1 2 y-y1=y2-y

，
得x₁+x₂=1，且y₁+y₂=2y，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=

2x 1-2x ，x≠ 1 2 -1，x= 1 2

的图象上的两点（可以重合），
∴分两种情况求解：
①当x₁=x₂=

1

2

时，y₁+y₂=-2；
②当x₁≠x₂时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=

2x1

1-2x1

+

2x2

1-2x2

=

2x1(1-2x2)+2x2(1-2x1)

(1-2x1)(1-2x2)

=

2(x1+x2)-8x1x2

(1-2x1)(1-2x2)

=

2(x1+x2)-8x1x2

1-2(x1+x2)+4x1x2

=

2-8x1x2

-1+4x1x2

=-2，
综上得，y₁+y₂=-2，
故答案为：-2

点评：本题考查了向量的坐标运算，向量相等的应用，以及分段函数求值等综合问题，考查了分类讨论、整体思想，以及计算能力．