Question

【题目】（本小题满分13分）已知函数。

（Ⅰ）当时，求曲线在处切线的斜率；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）当时，求在区间上的最小值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为（Ⅲ）当时，在区间上的最小值为，当，在区间上的最小值为

【解析】

试题（Ⅰ）利用导数几何意义求切线斜率：当时，，故曲线在处切线的斜率为（Ⅱ）因为，所以按分类讨论：当时，，递减区间为；当时，在区间上，，在区间上，，单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论，

当，即时，在区间上的最小值为，；当，即时，在区间上的最小值为，

试题解析：解：（Ⅰ）当时，， 2分

故曲线在处切线的斜率为 3分

（Ⅱ）。 4分

①当时，由于，故。所以， 的单调递减区间为。 5分

②当时，由，得。

在区间上，，在区间上，。

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。 7分

综上，当时，的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。 8分

（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论，

当，即时，在区间上的最小值为，。 10分

当，即时，在区间上的最小值为，。 12分

综上，当时，在区间上的最小值为，当，在区间上的最小值为。 13分