Question

若直线l与椭圆C：

x2

3

+y2=1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．分当AB⊥x轴时与AB与x轴不垂直时求出|AB|．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，由坐标原点O到直线l的距离为

3

2

可得

|m|

1+k2

=

3

2

，化为m2=

3

4

(k2+1)．同时与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出|AB|．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当AB⊥x轴时，∵坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，
∴可取A(

3

2

，y1)，代入椭圆得

( 3 2 )2

3

+

y

2 1

=1，解得y1=±

3

2

．
∴|AB|=

3

．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，
由坐标原点O到直线l的距离为

3

2

可得

|m|

1+k2

=

3

2

，化为m2=

3

4

(k2+1)．
把y=kx+m代入椭圆方程，消去y得到（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3m2-1

3k2+1

．
∴|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

．
当k≠0时，|AB|2=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2×3+6

=4，当且仅当k2=

1

3

时取等号，此时|AB|=2．
当k=0时，|AB|=

3

．综上可知：|AB|_max=2．△OAB的面积最大值为=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

点评：熟练掌握直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长问题、三角形的面积、点到直线的距离公式、分类讨论的思想方法的方法等是解题的关键．