Question

已知函数f（x）满足（其中为f（x）在点处的导数，C为常数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，求常数C；
（3）在（2）的条件下，若，求函数f（x）的图象与x轴围成的封闭图形的面积．

Answer 1

解：（1）由，
得．
取，得，
解之，得，
∴f（x）=x³-x²-x+C．
从而，
列表如下：

x				1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有极大值	↘	有极小值	↗

∴f（x）的单调递增区间是和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是
（2）由（1）知，；
[f（x）]_极小值=f（1）=1³-1²-1+C=-1+C．
∴方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，
等价于[f（x）]_极大值=0或[f（x）]_极小值=0．
∴常数或C=1．
（3）由（2）知，或f（x）=x³-x²-x+1．
而，所以f（x）=x³-x²-x+1．
令f（x）=x³-x²-x+1=0，得（x-1）²（x+1）=0，x₁=-1，x₂=1．
∴所求封闭图形的面积===．
分析：（1）求出f（x）的导函数，令x=求出将其代入f′（x），列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，由表求出函数的单调区间．
（2）由（1）中的表，求出函数的极大值、极小值，令极大值等于0极小值等于0求出c的值．
（3）将C的值代入f（x），根据已知条件确定出f（x），令f（x）=0求出两个根，即函数与x的轴的两个交点，利用定积分求出函数f（x）的图象与x轴围成的封闭图形的面积．
点评：解决函数的单调性问题，一般求出函数的导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间；令导函数小于0求出函数的单调递减区间．