Question

【题目】已知函数,

（Ⅰ）若在上的最大值为，求实数b的值；

（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）存在

【解析】

试题（1）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值．知道函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）；（3）对于是否存在问题先假设存在，如推出矛盾则不存在，若不矛盾则存在

试题解析：（Ⅰ）解：由，得得f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或

当x变化时（Ⅰ）若在上的最大值为，求实数b的值列表如下：

x			0
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）		单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

即最大值为

（2）由，得

且等号不能同时取得，，即

恒成立，即

令，则

当，从而

在上为增函数，

（3）由条件

假设曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q满足题意，则P,Q只能在y轴的两侧，不妨设则，是以是坐标原点）为直角顶点的直角三角形，是否存在等价于该方程t>0且是否有根

当时，方程可化为化简得此方程无解；

若时，方程即设，显然，当时，即在上是增函数，值域是，即，所以当时方程总有解，即对于任意正实数a曲线y=F（x）上总存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．