Question

已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， AD＝2，AB＝1，E．F
分别是线段AB．BC的中点，

（1）证明：PF⊥FD；
（2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；．
（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）见解析（2）满足AG＝AP的点G为所求（3）

(1)证明FD平面PAF即可.
(2)取AD的四分之一分点N，使m则EN//DF，然后再取PA的四分之一分点，使,即是所求G点位置.易证EG//平面PFD.
(3)利用空间向量法求解即可.要把二面角两个面的法向量求出来，然后再求法向量的夹角.
解：（1）证明：连接AF，则AF＝，DF＝，
又AD＝2，∴DF²＋AF²＝AD²，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，
……………4分
（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，
∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．
从而满足AG＝AP的点G为所求．………………8分
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，

因为PA⊥平面ABCD ，所以是与平面所成的角．又有已知得，所以，所以．
设平面的法向量为，由
得，令，解得：．
所以．又因为，所以是平面的法向量，易得，所以．
由图知，所求二面角的余弦值为．……………………12分