Question

【题目】已知函数对任意的实数m,n都有,且当时,.

(1)求；

(2)求证：在R上为增函数；

(3)若,且关于x的不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1).

(2)证明见解析；

(3).

【解析】

(1) 代入求值即可；

(2)利用单调性的定义、充分利用和当时,.即可证明出在R上为增函数；

(3)利用、把不等式转化为两个函数值的大小关系的式子,再利用(2)的结论,可以得到一个不等式,要想这个不等式对任意的恒成立,通过构造函数,利用函数的最值最后求出实数的取值范围.

（1）令,则,∴.

（2）证明：任取,且.

则,,∵,

∴

∴,∴在R上为增函数.

（3）∵,即

∴,∵,∴.

又∵在R上为増函数,∴

∴对任意的恒成立

令，只需满足即可

当,即时,在上递增

因此,由得,此时；当，即时，

,由得,

此时.

综上,实数的取值范围为.