Question

在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝，EF＝EC＝1，
⑴求证：平面BEF⊥平面DEF；
⑵求二面角A－BF－E的大小。

Answer 1

（1）见解析
（2）二面角的大小为

①证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，
∴EC⊥平面ABCD；连接BD交AC于点O，连接FO，
∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝BD＝2；
在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O为AC中点，
∴FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝，
DE＝BE＝，由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，
∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角，
由BF＝DF＝，BD＝2可知∠BFD＝，
∴平面BEF⊥平面DEF ………………（6分）
⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，
∵AB＝BF＝AF＝，∴AM⊥BF，
又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，
∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。
易求得，；
在Rt△中，可求得，
∴在△中，由余弦定理求得，
∴ ……………………………（12分）
解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；
建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则
,,,,
∴，，…(2分)
设平面BEF、平面DEF的法向量分别为
，则
 ①
 ②， ③, ④.
由①③③④解得,∴,…（4分）
∴，∴，故平面BEF⊥平面DEF…………（6分）
⑵设平面ABF的法向量为，∵，
∴，，解得
∴，………（8分）∴……（10分）
由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，故所求二面角的大小为