Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足Sn=2﹣an ， n=1，2，3，…．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an ， 求数列{bn}的通项公式；
（3）设cn=n（3﹣bn），求数列{cn}的前n项和为Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．

因为Sn=2﹣an，即an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2．

两式相减：an+1﹣an+Sn+1﹣Sn=0，即an+1﹣an+an+1=0，故有2an+1=an．

因为an≠0，所以 = （ n∈N*）．

所以数列{an}是首项a1=1，公比为 的等比数列，an= （ n∈N*）．

（2）解：因为bn+1=bn+an（ n=1，2，3，…），所以bn+1﹣bn= ．从而有b2﹣b1=1，b3﹣b2= ，b4﹣b3= ，…，bn﹣bn﹣1= （ n=2，3，…）．

将这n﹣1个等式相加，得bn﹣b1=1+ + +…+ = =2﹣2 ．

又因为b1=1，所以bn=3﹣ （ n=1，2，3，…）．

（3）解：因为cn=n （3﹣bn）=2n ，

所以Tn= ． ①

= ． ②

①﹣②，得 = ﹣ ．

故Tn= ﹣ =8﹣ ﹣ =8﹣ （ n=1，2，3，…）．

【解析】（1）利用数列中an与 Sn关系 解决．（2）结合（1）所求得出bn+1﹣bn= ．利用累加法求bn（3）由上求出cn=n （3﹣bn）=2n ，利用错位相消法求和即可．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．