Question

已知动点P与双曲线

x2

2

-

y2

3

=1的两个焦点F₁、F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为-

1

9

，则动点P的轨迹方程为

x2

18

+

y2

13

=1

．

Answer 1

分析：根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，再结合余弦定理求出椭圆中的a，b的值即可

解答：解：∵

x2

2

-

y2

3

=1，∴c=

5

．
设|PF₁|+|PF₂|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2

5

，
∴a＞

5

，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由余弦定理有cos∠F₁PF₂
=

m2+n2-|F1F2|2

2mn

=

(m+n)2-2mn-|F1F2|2

2mn

=

2a2-20

mn

-1
∵mn≤（

m+n

2

）²=a²，
∴当且仅当m=n时，mn取得最大值a²．
此时cos∠F₁PF₂取得最小值

2a2-20

a2

-1，
由题意

2a2-20

a2

-1=-

1

9

，
解得a²=18，
∴b²=a²-c²=18-5=13
∴P点的轨迹方程为

x2

18

+

y2

13

=1．
故答案为：

x2

18

+

y2

13

=1．

点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查椭圆的定义与椭圆的标准方程，考查余弦定理与基本不等式求最值．本题是圆锥曲线与基本不等式知识的一个综合题，知识覆盖面较广．