Question

已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且准线方程为y=-

1

2

.直线l过M（1，0）与抛物线交于A，B两点，点P在y轴的右侧且满足

OP

=

1

2

OA

+

1

2

OB

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线的方程及动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记动点P的轨迹为C，若曲线C的切线斜率为λ，满足

MB

=λ

MA

，点A到y轴的距离为a，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）待定系数法求出抛物线方程，点斜式设出直线l的方程并与抛物线方程联立方程组，得到直线l与物线交于A，B两点的坐标间的关系，由

OP

=

1

2

OA

+

1

2

OB

得到点P的坐标与直线斜率k的关系，消去k得到动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）先求出曲线C的切线斜率λ的范围，又

MB

=λ

MA

，用λ表示a，由斜率λ的范围得出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意知抛物线的方程为x2=2py(p＞0)，且

p

2

=

1

2

.
∴p=1，抛物线的方程为x²=2y．（2分）
直线l的斜率不存在时，
直线l与抛物线交于一点，不符合题意．（3分）
于是设直线l的方程为y=k（x-1）．
联立

y=k(x-1) x2=2y

，得x2-2kx+2k=0.
设两交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则△=4k²-8k＞0?k＞2或k＜0，（4分）
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=2k．（5分）
设P(x，y)，则

OP

=(x，y)，

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2).
∵

OP

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，
∴

x= x1+x2 2 =k y= y1+y2 2 = 1 2 [k(x1-1)+k(x2-1)]=k2-k.

消去k得y=x²-x．（7分）
又∵P点在y轴的右侧∴x＞0，
又∵x=k，k＞2或k＜0，∴x＞2．（8分）
∴动点P的轨迹方程为y=x²-x，（x＞0）；
（Ⅱ）∵曲线C的方程为y=x²-x，（x＞2）
∴切线斜率λ=y=2x-1（x＞2）．（9分）
∴λ＞3．（10分）
∵

MB

=(x2-1，y2)，

MA

=(x1-1，y1)，
又

MB

=λ

MA

∴

x2-1=λ(x1-1) y2=λy1

?

x2=λx1-λ+1 x22=λx12

∴λx₁²-2λx₁+λ-1=0．
解得x1=

2λ± 4λ

2λ

=1±

1 λ

.（12分）
∴a=x1=1±

1 λ

，(λ＞3)（13分）
∴a的取值范围是：(1-

3

3

，1)∪(1，1+

3

3

).（14分）

点评：本题考查抛物线方程、轨迹方程的求法，以及向量运算．