Question

设函数定义域为，且.设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和 轴的垂线，垂足分别为．

（1）写出的单调递减区间（不必证明）；
（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.

Answer 1

（1）函数在上是减函数.
（2） 
（3）。

试题分析：
思路分析：（1）根据函数的图象过点，确定a，进一步认识函数的单调性。
（2）、设 ，根据直线的斜率 ，确定的方程。
利用联立方程组求得M,N的坐标，计算可得 。
（3）、为求四边形面积的最小值，根据（2）将面积用 表示，
，应用均值定理求解。
解：（1）、因为函数的图象过点，
所以函数在上是减函数.
（2）、设 ，直线的斜率 ，
则的方程。
联立 ，
 、 
，
 
（2）、（文）设，直线的斜率为，
则的方程 ，
联立 ， ，
3、 ， ，
∴，
，，
∴ ，，
当且仅当时，等号成立，∴ 此时四边形面积有最小值。
点评：中档题，本题综合性较强，难度较大。以“对号函数”为背景，综合考查函数的单调性，直线与双曲线的位置关系，平面向量的坐标运算，均值定理的应用，面积计算等。