Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求导之后，通过对分子的二次函数的图像进行讨论，依次得到在不同范围中时，导函数的符号，从而求得单调区间；（2）根据（1）中所求在不同范围时的单调区间，得到的图像，通过图像找到恒成立所需条件，从而求得的取值范围.

（1）

①当时，

令，解得，，且

当时，；当时，

所以，的单调递增区间是，单调递减区间是和；

②当时，

所以，的单调递增区间是，单调递减区间是；

③当时，令，解得，，并且

当时，；当时，.

所以的单调递增区间是和，单调递减区间是；

④当时，，所以的单调递增区间是

⑤当时，令，解得，，且

当时，；当时，

所以，的单调递减区间是，单调递增区间是和

（2）由及（1）知，

①当时，，不恒成立，因此不合题意；

②当时，需满足下列三个条件：

⑴极大值：，得

⑵极小值：

⑶当时，

当时，，，故

所以；

③当时，在单调递增，

所以；

④当时，

极大值：

极小值：

由②中⑶知，解得

所以

综上所述，的取值范围是