Question

（满分10分）从社会效益和经济效益出发，某市决定投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加.
（Ⅰ）设第年（本年度为第一年）的投入为万元，旅游业收入为万元，写出和的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？

Answer 1

（Ⅰ）依题意每年投入构成首项为800万元，公比为的等比数列，……………………1分
每年旅游业收入构成首项为400万元，公比为的等比数列。……………………………2分
所以，………………………………4分（各2分）
（Ⅱ）经过年，总投入………5分
经过年，总收入……………6分
设经过年，总收入超过总投入，由此，,
化简得    ………………………………7分
设代入上式整理得，
解得，或（舍去）………………………………8分
由，时，，，＝………13分
因为在定义域上是减函数，所以……………………9分
答：至少经过5年旅游业的总收入超过总投入。………………………………10分

解析