Question

【题目】已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，直线l1经过椭圆的上顶点A和右顶点B，并且和圆x2＋y2＝相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线 与椭圆C相交于M、N两点，以线段OM、ON为邻边作平行四边形OMPN，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）＋y2＝1

（2）[1，]

【解析】

（1）直线的方程为;由直线l1与圆相切与,即可解出，即可得出答案.

（2）联立直线与椭圆，设，根据韦达定理得到点 ，,将其代入椭圆可得到:,代入，化简消后再由,即可得出|OP|的取值范围.

(1)由已知可得＝＝，所以，即.

又椭圆的上顶点，右顶点，

所以直线的方程为，即x＋2y－a＝0.

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即＝，解得a＝2.

所以b＝1，故椭圆C的方程为.

(2)将直线l2的方程和椭圆C的方程联立得

消去y，化简整理得.

故，即.

设，

则由根与系数之间的关系可得.

因为四边形OMPN为平行四边形，所以＝.故点P(，)．

由点P在椭圆上可得＋()2＝1，

整理得.

因为，所以，即.

则 ()2＋()2

＝＝＝

＝＝4－.

因为，所以m2∈[，1]，所以4－∈[1，]，故|OP|∈[1，]．