Question

已知函数，，(为自然对数的底数)．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）函数在区间上恒为正数，求的最小值；

（Ⅲ）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的单调减区间为，单调增区间为（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）函数f (x)的定义域为，

当时，

由， 由．

故的单调减区间为，单调增区间为．                               ……4分

（Ⅱ）在恒成立等价于：在恒成立，

令则，x∈,

于是在上为减函数，又在x=e处连续,

故在,

从而要使对任意的恒成立．

只要，故的最小值为．                                             ……9分

（Ⅲ）一次函数在上递增，故函数在上的值域是．

当时，为单调递减函数，不合题意；

当时，，

要使在不单调，只要，此时　①

故在上单调递减，在上单调递增．

注意到时，

∴

∴对任意给定的，在区间上总存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件，即

令，

当时，函数单调递增；

当时，函数单调递减．

所以，当时有即对任意恒成立．

又由，解得……②

∴　综合①②可知，当时，对任意给定的，在上总存在两个不同的，使成立．                                                            ……14分

考点：本小题注意考查导数的应用.

点评：导数是研究函数性质的有力工具，研究单调性、极值、最值时不要忘记先求函数的定义域，而不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值问题解决，分类讨论时要注意分类标准要不重不漏.