Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，且

OA

•

OB

=

2

3

，S△AOB=

2

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）短轴的长求得b，进而根据离心率求得a和c的关系，则a和b的关系可求得，最后根据b求得a，则椭圆的方程可得．
（2）设出直线l的方程，及A，B的坐标，把直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而根据

OA

•

OB

=

2

3

求得m和k的关系式，同时根据三角形的面积求得k和m的另一关系式，最后联立求得m和k，则l的方程可得．

解答：解：（1）短轴长2b=2，b=1，e=

c

a

=

2

2

又a²=b²+c²，所以a=

2

，c=1，所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

y=kx+m x2+2y2=2

，
消去y得，（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0

x1+x2= -4mk 1+2k2 x1•x2= 2m2-2 1+2k2

，

OA

•

OB

=x1x 2+y1y 2=

2

3

即

3m2-2k2-2

1+2k2

=

2

3

即9m²=10k²+8S△AOB=

1

2

|m||x1-x2|=

1

2

m2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

1

2

8m2(1+2k2-m2) (1+2k2)2

=

2

3

即9m²（1+2k²-m²）=（1+2k²）²

9m2(1+2k2-m2)=(1+2k2)2 9m2=10k2+8

，
解得k²=1，m²=2，所以y=±x±

2

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题的能力和基本运算的能力．