Question

（2012•安徽模拟）椭圆E：

x 2

a 2

+

y2

b 2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是左、右焦点，过F₁的直线与圆(x+

c

)

2

+(y+2

)

2

=1相切，且与椭圆E交于A，B两点，且|AB|=

16

5

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设M为椭圆E上一动点，点N（0，2

3

），求|

MN

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆E：

x 2

a 2

+

y2

b 2

=1(a＞b＞0)的离心率，化简方程，设出切线AB的方程利用直线与圆相切，及弦长公式，即可求椭圆E的方程；
（2）表示出|

MN

|，利用配方法，即可求|

MN

|的最大值．

解答：解：（1）∵椭圆E：

x 2

a 2

+

y2

b 2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，∴a²=4c²，b²=3c²，
∴椭圆E：

x 2

4

+

y2

3

=c2
设切线AB：y=k（x+c），即kx-y+ck=0
∴圆(x+

c

)

2

+(y+2

)

2

=1的圆心（-c，-2）到直线kx-y+ck=0的距离d=

2

1+k2

=1
∴k=±

3

∴切线AB为y=±

3

（x+c），
将切线方程代入

x 2

4

+

y2

3

=c2，可得5x²+8cx=0
∴x₁=0，x₂=-

8c

5

∵|AB|=

16

5

，∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

16c

5

=

16

5

，∴c=1
∴椭圆E的方程为

x 2

4

+

y2

3

=1；
（2）设M（x₀，y₀），则

x02

4

+

y02

3

=1，|

MN

|=

x02+(y0-2 3 )2

（-

3

≤y₀≤

3

）
∴|

MN

|=

4- 4 3 y02+(y0-2 3 )2

=

- 1 3 (y0+6 3 )2+52

∵-

3

≤y₀≤

3

∴y₀=-

3

时，|

MN

|的最大值为3

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查向量模长的计算，属于中档题．