Question

（2012•钟祥市模拟）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）设θ 为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ 的值；
（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB₁并求

BP

PC

的值．

Answer 1

分析：（1）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB₁两两垂直． 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB₁所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
，证出

BN1

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0后即可证明BN⊥平面C₁B₁N；
（2）求出平面NCB₁的一个法向量

n2

，利用

C1N

与此法向量的夹角求出直线C₁N与平面CNB₁所成的角
（3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB₁，得知

MP

⊥

n2

，利用向量数量积为0求出a的值，并求出

BP

PC

的值．

解答：（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB₁两两垂直．                              …（2分）
以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB₁所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵

BN

•

NB1

=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁与B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；   …（4分）
（2）解：设n₂=（x，y，z）为平面NCB₁的一个法向量，
则  

n2 • CN =0 n2 • NB1 =0

⇒

(x，y，z)•(4，4，-4)=0 (x，y，z)•(-4，4，0)=0

⇒

x+y-z=0 -x+y=0

，取

n2

=(1，1，2)，

C1N

=(4，-4，-4)
则sinθ=|

(4，-4，-4)•(1，1，2)

16+16+16 • 1+1+4

|=

2

3

；…（8分）
（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则

MP

=(-2，0，a)，∵MP∥平面CNB₁，
∴

MP

⊥

n2

⇒

MP

•

n2

=(-2，0，a)•(1，1，2)=-2+2a=0⇒a=1．
又PM?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴当PB=1时，MP∥平面CNB₁
∴

BP

PC

=

1

3

…（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确．