Question

对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数f（x）=x-[x]，则下列命题中正确的是

②③

（填题号）
①函数f（x）的最大值为1；              
②函数f（x）的最小值为0；
③函数G(x)=f(x)-

1

2

有无数个零点；    
④函数f（x）是增函数．

Answer 1

分析：本题考查的是取整函数问题．在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析即可，注意反例的应用．

解答：解：∵函数f（x）=x-[x]，
∴函数f（x）的最大值小于1，故①不正确；
函数f（x）的最小值为0，故②正确；
函数每隔一个单位重复一次，所以函数G(x)=f(x)-

1

2

有无数个零点，故③正确；
函数f（x）有增有减，故④不正确．
故答案为：②③．

点评：本题考查的是分段函数知识和函数值域等性质的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、特值的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．