Question

在平面直角坐标系上，设不等式组（）
所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为.
（Ⅰ）求并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和,是否存在自然数m？使得对一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ），，，＝3n，（Ⅱ）满足题设的自然数m存在，其值为0

（Ⅰ）当n＝1时，D₁为Rt△OAB₁的内部包括斜边，这时，
当n＝2时，D₂为Rt△OAB₂的内部包括斜边，这时，
当n＝3时，D₃为Rt△OAB₃的内部包括斜边，这时，……， ---3分
由此可猜想＝3n。 --------------------------------------------------4分
下面用数学归纳法证明:
(1)当n＝1时，猜想显然成立。
(2)假设当n＝k时，猜想成立，即，（） ----5分
如图，平面区域为Rt内部包括斜边、平面区域为
Rt△内部包括斜边，∵平面区域比平面区域多3
个整点， ------- 7分            
即当n＝k+1时，，这就是说当n＝k+1时，
猜想也成立，
由（1）、（2）知＝3n对一切都成立。 ---------------------8分
（Ⅱ）∵＝3n,  ∴数列是首项为3，公差为3的等差数列,
∴.
  -------------------------10分

== -------------------------------11分
∵对一切，恒成立,  ∴
∵在上为增函数 ∴ ---13分
，满足的自然数为0，
∴满足题设的自然数m存在，其值为0。 -------------------------14分