Question

【题目】已知函数，其中.

（1）求函数的极值；

（2）若函数有两个不同的零点求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

（1）分类讨论参数的值，利用导数得出该函数的单调性，进而得出极值；

（2）当时，至多有一个零点，不符合题意；当时，函数的极大值为，令，求导确定的单调性，讨论的值，确定的正负，再结合零点存在性定理，即可得出的取值范围.

解：（1）的定义域是，

若，则，此时在递减，无极值；

若，则由，解得

当，；当时，

此时在递增，在递减，

当时，函数的极大值为，无极小值.

（2）由（1）可知，当时，在递减，则至多有一个零点，不符合题意，舍去；

当时，函数的极大值为

令

，在单调递增

又，时，，时，

①当，，则函数至多有一个零点，不符合题意，舍去；

②当时，

函数在内有一个零点

设

在内单调递减，则

函数在内有一个零点，则当时，函数恰有两个零点，综上，函数有两个不同的零点时，.