Question

【题目】如果一个正整数n在三进制下的各位数字之和能被3整除，则称n为“恰当数”。求S={1,2,...,2005}中全体恰当数之和。

Answer 1

【答案】671007

【解析】

对m∈N，在三进制下不超过m+1位的非负整数共有个，设其中数字和模3余0、余1、余2的数的个数分别为.当m≥1时，将数字和模3余0的数按其首位是0、1、2分类(将不足m+1位的非负整数前面添上一些0而变成m+1位，以下仿此)，易得

.

同理，.

于是，.

又显然，故对m∈N，恒有.从而，在三进制下不超过m+1位的恰当数共有个.

对m∈N在三进制下不超过m+1位的个非负整数中，设数字和模3余0、余1、余2的数的和分别为，则等于这个数之和，

即.

当m≥1时， 个数字和模3余0的数中，首位为0的个的和，首位为1的个的和为，首位为2的个的和为.

则

.

从而，在三进制下不超过m+1位的个恰当数之和为.

由于2005=为7位数，而由前面的分析知，不超过7位的正整数中，恰当数共有个，和为，这个和中包括了不超过而大于的恰当数共60个.将这60个数从小到大排列为

易算出这60个数之和为

.

故=(1,2,...,2005)中全体恰当数之和为796797-125790=671007.