Question

（本小题满分13分）

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

 

Answer 1

（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意知，

所以．

即．

又因为，

所以，．

故椭圆的方程为．…………………………………………4分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．

由  得．       ①

…………………………………………6分

设点，，则．

直线的方程为．

令，得．

将，代入，

整理，得．                   ②

由①得 ，代入②

整理，得．

所以直线与轴相交于定点．……………………………………9分

（Ⅲ）当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，且

，在椭圆上．

由  得．    

易知．

所以，， ．

则．

因为，所以．

所以．

当过点直线的斜率不存在时，其方程为．

解得，．

此时．

所以的取值范围是．……………………………………13分