Question

(

1

2

x+1)¹⁰=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，其中a_k （k=0，1，2，…，9，10）都是常数，则a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=

5

．

Answer 1

分析：首先将(

1

2

x+1)¹⁰变形为（

1

2

）¹⁰[1+（x+1）]¹⁰，再利用二项式定理展开可得(

1

2

x+1)¹⁰=（

1

2

）¹⁰+（

1

2

）¹⁰C₁₀¹（1+x）¹+（

1

2

）¹⁰C₁₀²（1+x）²+…+（

1

2

）¹⁰C₁₀¹⁰（1+x）¹⁰；结合题意，可得a₁=（

1

2

）¹⁰C₁₀¹，a₂=（

1

2

）¹⁰C₁₀²，…a₁₀=（

1

2

）¹⁰C₁₀¹⁰，进而可得a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（

1

2

）¹⁰C₁₀¹+（

1

2

）¹⁰C₁₀²+…（

1

2

）¹⁰C₁₀¹⁰=（

1

2

）¹⁰[C₁₀¹+2C₁₀²+…+10C₁₀¹⁰]，由二项式系数的性质，可得a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（

1

2

）¹⁰×10×[C₉⁰+C₉¹+…+C₉⁹]=（

1

2

）¹⁰×10×2⁹，计算可得答案．

解答：解：(

1

2

x+1)¹⁰=（

1

2

）¹⁰[1+（x+1）]¹⁰=（

1

2

）¹⁰+（

1

2

）¹⁰C₁₀¹（1+x）¹+（

1

2

）¹⁰C₁₀²（1+x）²+…+（

1

2

）¹⁰C₁₀¹⁰（1+x）¹⁰；
根据题意，(

1

2

x+1)¹⁰=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，
则a₀=（

1

2

）¹⁰，a₁=（

1

2

）¹⁰C₁₀¹，a₂=（

1

2

）¹⁰C₁₀²，…a₁₀=（

1

2

）¹⁰C₁₀¹⁰，
则a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（

1

2

）¹⁰C₁₀¹+2（

1

2

）¹⁰C₁₀²+…+10（

1

2

）¹⁰C₁₀¹⁰，
=（

1

2

）¹⁰[C₁₀¹+2C₁₀²+…+10C₁₀¹⁰]，
又由mC_n^m=nC_n-1^m-1，则C₁₀¹=10C₉⁰，2C₁₀²=10C₉¹，…，10C₁₀¹⁰=10C₉⁹，
即a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（

1

2

）¹⁰×10×[C₉⁰+C₉¹+…+C₉⁹]=（

1

2

）¹⁰×10×2⁹=5；
故答案为5．

点评：本题考查二项式定理的运用，解题的关键要灵活运用二项式系数的性质．