Question

已知函数满足, 且对于任意恒有成立。

(1) 求实数的值；

(2)设若存在实数，当时，恒成立，求实数的最大值。

 

Answer 1

【答案】

（1）b=10， a=100；(2) 实数的最大值是4。

【解析】（1）由f（-1）=-2，代入函数解析式得到关于lga与lgb的等式记作①，化简后得到关于a与b的等式记作②，又因为f（x）≥2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令△≤0得到关于lga与lgb的不等式，把①代入后得到关于lgb的不等式，根据平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入②即可求出a的值；

（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，所以a b =10②．又f（x）≥2x恒成立，f（x）-2x≥0恒成立，则有x2+x•lga+lgb≥0恒成立，故△=（lga）2-4lgb≤0，将①式代入上式得：（lgb）2-2lgb+1≤0，即（lgb-1）2≤0，故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；

(2) ,∵存在实数，当时，恒成立；即恒成立.

（）恒成立.

设，则

∴，即，且

，∴实数的最大值是4。