Question

已知向量

m

=（sinB，1-cosB）与向量

n

=（2，0）的夹角为

π

3

，其中A、B、C是△ABC的内角．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据两向量的夹角及两向量的求出两向量的数量积，然后再利用平面向量的数量积的运算法则计算，两者计算的结果相等，两边平方且利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由B的度数，把所求的式子利用三角形的内角和定理化为关于A的式子，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，最后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象可知正弦函数值的范围，进而得到所求式子的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

•

n

=2sinB，（1分）
又

m

•

n

=

sin2B+(1-cosB)2

×2×

1

2

=

2-2cosB

，（2分）
∴2sinB=

2-2cosB

化简得：2cos²B-cosB-1=0，
∴cosB=1（舍去）或cosB=-

1

2

，（4分）
又∵B∈（0，π），∴B=

2

3

π；（5分）
（Ⅱ）sinA+sinC=sinA+sin(

π

3

-A)=sinA+

3

2

cosA-

1

2

sinA=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin(A+

π

3

)（8分）
∵0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2

3

π，
则

3

2

＜sin(A+

π

3

)≤1，
∴sinA+sinC∈(

3

2

，1]（10分）

点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，向量的数量积表示向量的夹角，三角函数的恒等变换以及同角三角函数间基本关系的运用．学生做题时注意角度的范围，熟练掌握三角函数公式，牢记特殊角的三角函数值，掌握正弦函数的值域．