Question

设二次函数f(x)＝x²＋bx＋c(b，c∈R)，已知不论α，β为何实数，恒有f(sinα)≥0，且f(2＋cosβ)≤0．

(1)求证：b＋c＝－1；

(2)求c的取值范围；

(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b，c的值．

Answer 1

答案：
解析：

热点分析　　(1)因为f(1)＝1＋b＋c，所以本小题取特殊值α＝，β＝π可求得． 　　(2)利用二次函数与一元二次不等式之间的关系，把f(2＋cosβ)≤0恒成立条件转化为最值问题 　　(3)利用二次函数的单调性． 　　解答　　(1)取α＝，β＝π， 　　则f(1)≥0且f(1)≤0，∴f(1)＝0，于是b＋c＝－1． 　　(2)∵b＝－1－c，∴f(x)＝x2－(1＋c)x＋c＝(x－1)(x－c)． 　　∵1≤x≤3时，f(x)≤0，即(x－1)(x－c)≤0恒成立， 　　∴x－c≤0，即c≥x恒成立，∴c≥xmax＝3． 　　(3)f(sinα)＝sin2α－(1＋c)sinα＋c＝(sinα－)2＋c－， 　　∵≥2，由二次函数单调性可知，当sinα＝－1时，f(sinα)max＝1－b＋c＝8，与b＋c＝－1联立解得b＝－4，c＝3． 　　评析　　本题充分体现了二次函数与二次不等式的联系与转化，其解法“巧”在利用条件的特殊状态求出f(1)＝0，“活”在二次函数向不等式的转化，“妙”在利用二次函数单调性确定最大值的表达式，进而求出b，c． 　　综上可知，存在a＝c＝，b＝，使题设不等式对一切实数x都成立． 　　采用取特值x＝0，解代消元和判别式法，逐步确定待定参数．