Question

如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形。

（1）求证：AD⊥BC；
（2）求二面角B-AC-D的大小；
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）作AH⊥面BCD于H，连DH AB⊥BDHB⊥BD， 又AD=，BD=1 ∴AB==BC=AC ∴BD⊥DC 又BD=CD，则BHCD是正方形， 则DH⊥BC ∴AD⊥BC。
（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角， 因为AB=AC=BC= ∴M是AC的中点，且MN∥CD 则BM=，MN=CD=，BN=AD=， 由余弦定理可求得cos∠BMN= ∴∠BMN=arccos。 （3）设E是所求的点，作EF⊥CH于F，连FD 则EF∥AH， ∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角， 则∠EDF=30° 设EF=x，易得AH=HC=1，则CF=x，FD=， ∴tan∠EDF=== 解得x=，则CE=，x=1 故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30°角。