Question

如图，边长为a的正三角形ABC，PA⊥平面ABC，PA=a，QC⊥平面ABC，QC=

a

2

，PQ与AC延长线交于F点．
（1）若D为PB中点，证明：QD∥平面ABC；
（2）证明：BF⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）取AB中点E，连接DE、CE，根据三角形中位线定理，及PA⊥面ABC，QC⊥面ABC，易证明出四边形DECQ为矩形，则DQ∥CE，由线面平行的判定定理，即可得到答案．
（2）由（1）中PA∥QC，PA=a，QC=

a

2

，易得到C为AF的中点，根据直角三角形性质，可得BF⊥BA，根据线面垂直的判定中得BF⊥面PAB．

解答：证明：（1）取AB中点E，连接DE，则DE

∥ =

1

2

PA，连接CE
∵PA⊥面ABC，QC⊥面ABC，
∴PA∥QC，∴DE

∥ =

QC
∴四边形DECQ为矩形
∴DQ∥CE，CE?面ABC，
∴DQ∥面ABC（6分）
（2）∵PA∥QC，且QC=

PA

2

=

a

2

∴C为AF中点
∴BF⊥BA
∵PA⊥面ABC?BF⊥面PAB（11分）
∴BF⊥PA（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理，几何特征是解答本题的关键．