Question

已知函数

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）记f(x)在区间（n∈N*）上的最小值为,

（）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；

（）求证：。

Answer 1

解法一：

（I）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+）,且=-1=.

            由>0得-1<x<0，f(x)的单调递增区间为（-1，0）；

            由<0得x>0，f(x)的单调递增区间为（0，+）.

(II)因为f(x)在[0,n]上是减函数，所以b_n=f(n)=ln(1+n)-n,

            则a_n=ln(1+n)-b_n=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.

(i)

>

又lim,

因此，即实数c的取值范围是（-，。

（II）由（i）知

因为[]²

所以＜(nN^*),

则＜

。

即N*）

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为f(x)在上是减函数，所以

　　　则

（i）因为对n∈N*恒成立.

所以对n∈N*恒成立.

　　则对n∈N*恒成立.

　　设 n∈N*，则c＜g(n)对n∈N*恒成立.

　　考虑

　　因为＝0，

　　所以内是减函数；则当n∈N*时，g(n)随n的增大而减小，

又因为

=1.

所以对一切因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞，1].

() 由()知

          下面用数学归纳法证明不等式 (nN^*),

          ①当n=1时，左边＝，右边＝，左边<右边.不等式成立.

          ②假设当n=k时,不等式成立.即

当n=k+1时，

=

即n＝k＋1时，不等式成立

综合①、②得，不等式成立.

所以

即。