Question

【题目】已知函数， .

（1）求函数的单调区间；

（2）对一切， 恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对一切，都有成立.

Answer 1

【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2）；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导数的不等式，即可求解函数的单调区间；

（2）问题可化为对一切恒成立，令，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出的取值范围即可；

（3）问题等价于，即证，令，根据函数的单调性即可作出证明.

试题解析：

（1），得由，得

∴的递增区间是，递减区间是

（2）对一切， 恒成立，

可化为对一切恒成立.

令， ，

当时， ，即在递减

当时， ，即在递增，∴，

∴，即实数的取值范围是

（3）证明： 等价于，即证

由（1）知，（当时取等号）

令，则，易知在递减，在递增

∴（当时取等号）∴对一切都成立

则对一切，都有成立.