Question

【题目】已知双曲线，为坐标原点，离心率，点在双曲线上.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线交于、两点，且.求的最小值.

Answer 1

【答案】(1);(2)24.

【解析】分析：（1）由双曲线的离心率可得关于、的一个方程，再把点代入双曲线的方程又得到关于、的一个方程，将以上方程联立即可解最后结果；（2）利用得，故而可得，再结合一元二次方程的根与系数的关系及弦长公式即可求出结果.

详解：（1）由，可得，∴，∴双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴双曲线的方程为.

（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去整理得，∵直线与双曲线交于，两点，

∴ .设，，

则，，由得到：，

即，∴，

化简.∵ ，

当时，上式取等号，且方程有解.

②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则有，，

由可得，可得，解得,∴.

∴.综上可得的最小值是24.