Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4．E是PD的中点．

(Ⅰ)求证：平面PDC⊥平面PAD；

(Ⅱ)求二面角E－AC－D所成平面角的余弦值；

(Ⅲ)求B点到平面EAC的距离．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法一：

(Ⅰ)　　　　　2分

　　　　

　　而　　　　　　　　　　　　　4分

　　　　　　　　　　　　　　　　5分

　　(Ⅱ)连结、，取中点，连结，则，

　　∵平面，∴平面，

　　过作交于，连结，

　　则就是二面角所成平面角.　　　　　　　　　7分

　　由，则.

　　在中，　解得

　　因为是的中点，所以　　　　　　　　　8分

　　而，由勾股定理可得　　　　　　　　　9分

　　　　　　　　　　　　　10分

　　(Ⅲ)连结，在三棱锥中，

　　　　　　　12分

　　　　　点到底面的距离，

　　则由，即　　13分

　　　求得

　　所以点到平面的距离是.　　　　　　　14分

　　解法二：

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则(0，0，0)，(2，0，0)，(2，4，0)，(0，4，0)，

　　(0，2，1)，(0，0，2).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

　　∴＝(2，0，0)，＝(0，4，0)，＝(0，0，2)，＝(－2，0，0)，

　　＝(0，2，1)，＝(2，4，0)，　　　　　　　　　　　　　　3分

　　(Ⅰ)　

　　又　　　　　　　　　　　　　5分

　　　

　　　　而

　　∴平面⊥平面.　　　　　　　　　　　　　7分

　　(Ⅱ)设平面的法向量

　　由即

　　∴=.　　　　　　　　　　　　　　　　9分

　　平面的法向量＝(0，0，2)，

　　

　　所以二面角所成平面角的余弦值是.　　　11分

　　(Ⅲ)设点到平面的距离为，

　　＝(2，0，0)，=.　　　　　　　　　12分

　　则=

　　所以点到平面的距离是.　　　　　　14分