Question

（2010•武昌区模拟）已知数列{a_n}，{b_n}满足a1=

1

2

，b1=-

1

2

，且对任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足bn=

4cn+n

3cn+n

，试求{c_n}的通项公式并判断：是否存在正整数M，使得对任意n∈N^*，c_n≤c_M恒成立．
（3）若数列{d_n}满足dn=

an

cn

，求证：当n≥2时，-

5

2

＜

n

k=1

dk＜an-

5

2

．．

Answer 1

分析：（1）由已知，对任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n，取m=1，可得数列{a_n}，{b_n}分别为等比，等差数列，即可求出它们的通项公式；
（2）根据b_n求出c_n的通项公式，然后可判定数列{c_n}为递减数列，c_n的最大值为c₁，故存在M=1，使得对任意n∈N^*，c_n≤c₁恒成立；
（3）先求出d_n的通项公式，然后求出

n

k=1

dk，而当n≥2时，0＜

3n+5

2n(n2+3n+2)

＜

1

2n

=an，从而证得结论．

解答：解：（1）由已知，对任意m，n∈N^*，
有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
取m=1，得an+1=a1an=

1

2

an，bn+1=b1+bn=-

1

2

+bn．
所以数列{a_n}，{b_n}分别为等比，等差数列．
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n     bn=-

1

2

+(n-1)(-

1

2

)=-

n

2

…（4分）
（2）由bn=

4cn+n

3cn+n

，
得cn=-

n2+2n

3n+8

．
∵cn+1-cn=-

3n2+19n+24

(3n+8)(3n+11)

＜0．
∴数列{c_n}为递减数列，c_n的最大值为c₁．
故存在M=1，使得对任意n∈N^*，c_n≤c₁恒成立…（8分）
（3）∵dn=

an

cn

=-

3n+8

2n•n(n+2)

=

1

2n•(n+2)

-

1

2n-1n

∴

n

k=1

dk=(

1

21•3

-

1

2-1•1

)+(

1

22•4

-

1

20•2

)+…+(

1

2n(n+2)

-

1

2n-2n

)
=-

1

2-1•1

-

1

20•2

+

1

2n-1(n+1)

+

1

2n(n+2)

=-

5

2

+

3n+5

2n(n2+3n+2)

而当n≥2时，0＜

3n+5

2n(n2+3n+2)

＜

1

2n

=an
∴-

5

2

＜

n

k=1

dk＜an-

5

2

．…（13分）

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及数列的单调性和取值范围等问题，属于中档题．