Question

已知．
（1）当时，求证：f（x）在（-1，1）内是减函数；
（2）若y=f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的导函数，根据的范围得到f′（-1）≤0且f′（1）≤0，因为导函数图象开口向上，所以导函数小于0，得到函数为减函数；
（2）设极值点为x∈（-1，1），则f′（x）=0，当a＞时，f（x）在（-1，x）内是增函数，f（x）在（x，1）内是减函数．根据极值点的存在与否得到a的范围即可．
解答：解：（1）证明：∵f（x）=x³-ax²-3x，
∴f′（x）=2x²-2ax-3．∵|a|≤，∴
又∵二次函数f′（x）的图象开口向上，?
∴在（-1，1）内f′（x）＜0．故f（x）在（-1，1）内是减函数．
（2）设极值点为x∈（-1，1），则f′（x）=0，?
当a＞时，∵?
∴在（-1，x）内f′（x）＞0，在（x，1）内f′（x）＜0，?
即f（x）在（-1，x）内是增函数，f（x）在（x，1）内是减函数．?
∴当a＞时f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点且是极大值点．?
当a＜时，同理可知f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，且是极小值点．
当≤a≤时，由（1）知f（x）在（-1，1）内没有极值点．
故所求a的取值范围是（-∞，）∪（，+∞）．
点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数研究函数极值的能力．