Question

已知a，x∈R，函数f(x)=sin2x-(2

2

+

2

a)sin(x+

π

4

)-

2 2

cos(x- π 4 )

．
（1）设t=sinx+cosx，把函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）表达式和定义域；
（2）对任意x∈[0，

π

2

]，函数f（x）＞-3-2a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式可得t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，把t=sinx+cosx两边平方化为sinxcosx=

t2-1

2

．代入即可得到g（t）及其定义域；
（2））由x∈[0，

π

2

]，可得t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[1，

2

]，通过换元，由函数f（x）＞-3-2a恒成立，分离参数即可得到a＞

t2-2t

t-2

-

4-2t

t(t-2)

=t+

2

t

=p(t)，
利用导数或单调性的定义即可得到p（t）的单调性和值域．

解答：解：（1）∵t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
又t²=sin²x+cos²x+2sinxcosx，
∴sinxcosx=

t2-1

2

．
∵f(x)=2sinxcosx-(2+a)(sinx+cosx)-

4

sinx+cosx

．
∴f(x)=g(t)=t2-(2+a)t-

4

t

-1，定义域：[-

2

，0)∪(0，

2

]．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[1，

2

]，
∵函数f（x）＞-3-2a恒成立，∴t2-(2+a)t-

4

t

-1＞-3-2a恒成立，
得：t2-2t-

4

t

+2＞(t-2)a，
∵t-2＜0，∴a＞

t2-2t

t-2

-

4-2t

t(t-2)

=t+

2

t

=p(t)，
设1≤t1≤t2≤

2

，∵p(t2)-p(t1)=(t2-t1)(

t1t2-2

t1t2

)＜0，
∴函数p（t）在[1，

2

]上是递减函数，
∴a＞p_max（x）=p（1）=3．

点评：熟练掌握两角和的正弦公式、sinx+cosx与sinxcosx的关系、倍角公式、三角函数的单调性、单调性的定义、分离参数法是解题的关键．