【题目】已知函数,其中.
(Ⅰ)当a=1时,求函数的单调区间:
(Ⅱ)求函数的极值;
(Ⅲ)若函数有两个不同的零点,求a的取值范围。
【答案】(Ⅰ)单调减区间为(1,+) ,增区间为(0,1); (Ⅱ)见解析(Ⅲ)a>1
【解析】
(Ⅰ)当a=1, f′(x)=,解f′(x)<0和f′(x)>0确定单调区间;(Ⅱ)f′(x),讨论a≤0和a>0时f′(x)的符号,确定单调性和极值;(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a≤0时,f(x)至多有一个零点,舍去;当a>0时,函数的极小值为f(a)=设函数g(x)=lnx+x-1,求导确定g(x):当0<x<1时,g(x)<0;x>1时,g(x)>0,分情况讨论:当0<a≤1,f(a)=ag(a) ≤0,f(x)至多有一个零点,不符合题意;当a>1时,由零点存在定理确定()和(a,3a-1)各有一个零点,则a可求
(Ⅰ)当a=1时,, f′(x)=
当f′(x)<0时,x>1; f′(x)>0时,0<x<1
∴函数的单调减区间为(1,+) ,增区间为(0,1)
(Ⅱ)f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x),
若a≤0,则f′(x)<0,此时f(x)在(0,+∞)递减,无极值
若a>0,则由f′(x)=0,解得:x=a,
当0<x<a时,f′(x)>0,当x>a时,f′(x)<0,
此时f(x)在(0,a)递增,在(a,+∞)递减;
∴当x=a时,函数的极大值为f(a)=,无极小值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
当 a≤0时,f(x)在(0,+∞)递减,则f(x)至多有一个零点,不符合题意,舍去;
当a>0时,函数的极小值为f(a)=,
令g(x)=lnx+x-1(x>0)
∵ ∴g(x)在(0,+∞)单调递增,又g(1)=0, ∴0<x<1时,g(x)<0;x>1时,g(x)>0
(i) 当0<a≤1,f(a)=ag(a) ≤0,则函数f(x)至多有一个零点,不符合题意,舍去;
(ii) 当a>1时,f(a)=ag(a)>0
∵∴函数f(x)在()内有一个零点,
∵f(3a-1)=aln(3a-1)-
设h(x)=lnx-x(x>2)
∵ ∴h(x)在(2,+∞)内单调递减,则h(3a-1)<h(2)=ln2-2<0
∴函数f(x)在(a,3a-1)内有一个零点.则当a>1时,函数f(x)恰有两个零点
综上,函数有两个不同的零点时,a>1
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【题目】设、分别是椭圆C:的左、右焦点,,直线1过且垂直于x轴,交椭圆C于A、B两点,连接A、B、,所组成的三角形为等边三角形。
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点的直线m与椭圆C相交于M、N两点,试问:椭圆C上是否存在点P,使成立?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球的球面上,则球0的表面积为( )
A. 8πB. 12πC. 20πD. 24π
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【题目】如图,在四棱锥中:底面ABCD,底面ABCD为梯形,,,且,BC=1,M为棱PD上的点。
(Ⅰ)若,求证:CM∥平面PAB;
(Ⅱ)求证:平面平面PAB;
(Ⅲ)求直线BD与平面PAD所成角的大小.
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【题目】某度假酒店为了解会员对酒店的满意度,从中抽取50名会员进行调查,把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准:1分(很不满意);2分(不满意);3分(一般);4分(满意);5分(很满意).其统计结果如下表(住宿满意度为,餐饮满意度为)
(1)求“住宿满意度”分数的平均数;
(2)求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差;
(3)为提高对酒店的满意度,现从且的会员中随机抽取2人征求意见,求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率.
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【题目】如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案共有( )
A.360种B.720种C.480种D.420种
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, E是PD的中点.
(1)证明:直线 平面PAB;
(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为 ,求二面角M-AB-D的余弦值.
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