Question

已知函数f（x）=x³-3x²+2b，满足：f（1+x）+f（1-x）=2b，且方程f（x）-2t=0在区间[-1，t]（t＞-1）上只有一个解，则实数t的取值范围是（　　）

• A．[0，1)∪[1+

  5

  ，+∞)∪{2}
• B．[0，1）∪[3，+∞）∪{2}
• C．(-

  1

  2

  ，1)∪[

  7

  2

  ，+∞)∪{2}
• D．(0，2]∪(3，1+

  5

  ]

Answer 1

分析：由于f（1+x）+f（1-x）=2b，代入函数解析式得出b值，从而得出函数f（x）的解析式，又f（x）-2t=0?f（x）=2t，设y=f（x），y=2t，画出这两个函数的图象，如图所示．下面结合图象就t的取值进行分类讨论，即可得到实数t的取值范围．

解答：解：由于f（1+x）+f（1-x）=2b，
∴（x+1）³-3（x+1）²+2b+（1-x）³-3（1-x）²+2b=2b
⇒b=2．
∴f（x）=x³-3x²+4，
又f（x）-2t=0?f（x）=2t，设y=f（x），y=2t，
画出这两个函数的图象，如图所示．
在方程f（x）-2t=0中令x=t得：t³-3t²+4-2t=0，
⇒（t-1）（t²-2t-4）=0⇒t=1或t=1±

5

，
①当t∈[0，1]时，它们在区间[-1，t]（t＞-1）上只有一个交点；
②当t=2时，它们在区间[-1，t]（t＞-1）上只有一个交点；
③当t∈[1+

5

，+∞）时，它们在区间[-1，t]（t＞-1）上只有一个交点；如图．
综上所述，则实数t的取值范围是(-

1

2

，1)∪[

7

2

，+∞)∪{2}．
故选A．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、根的存在性及根的个数判断、方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．