Question

（2012•深圳一模）已知等比数列{a_n}的第5项是二项式(

x

-

1

3x

)6展开式的常数项，则a₃a₇=

25

9

．

Answer 1

分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，即得a₅的值．再根据等比数列的性质求得a₃a₇ 的值．

解答：解：二项式(

x

-

1

3x

)6展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 6

•x

6-r

2

•(-

1

3

)r•x^-r=(-

1

3

)r•

C

r 6

•x

6-3r

2

．
令6-3r=0，r=2，故展开式的常数项为 T₃=(-

1

3

)2•

C

2 6

=

5

3

．
由题意可得 等比数列{a_n}的第5项 a₅=

5

3

，
∴a₃a₇=a52=

25

9

，
故答案为

25

9

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．等比数列的性质应用，属于中档题