Question

已知：f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a（a∈R，a为常数）
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在[-

π

6

，

π

4

]上最大值与最小值之和为3，求a的值；
（3）在（2）条件下f（x）先经过平移变换，再经过伸缩变换后得到y=sinx，请写出完整的变换过程．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可将f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a化为：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，从而可求f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[-

π

6

，

π

4

]⇒2x∈[-

π

3

，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，利用正弦函数的性质结合题意即可求得a的值；
（3）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求在（2）条件下由f（x）变换得到y=sinx的变换过程．

解答：解：（1）∵f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a
=cos2x++

3

sin2x+a+1
=2sin（2x+

π

6

）+a+1…（2分）
∴最小正周期T=

2π

2

=π…（3分）
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴2x∈[-

π

3

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，…（4分）
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1…（5分）
即f（x）_min=a，f（x）_max=a+3，
∴a+a+3=3，故a=0    …（6分）
（3）将f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1的图象先向右平移

π

12

个单位，再向下平移1个单位，得到f（x）=2sin2x的图象，…（8分）
再将f（x）=2sin2x的图象上每一个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的

1

2

，得到f（x）=sinx的图象． （10分）                       …（10分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查复合三角函数的单调性与函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的综合应用，属于中档题．